时间序列的平稳性与渐近性¶
时间序列的大样本理论比横截面棘手：观测跨期相关，大数定律 / 中心极限定理不再自动成立。关键在于跨期相关是否随间隔足够快地趋于零——这就是平稳 + 弱相关。满足它，OLS 才一致且渐近正态；否则（如随机游走 / 单位根）会出大问题，需差分化解。
核心结论速览
| 概念 | 要点 |
|---|---|
| 平稳 | 联合分布不随时间平移而变；协方差平稳只要求均值、方差恒定且 \(\mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h})\) 只依赖 \(h\) |
| 弱相关 | \(\mathrm{Corr}(x_t,x_{t+h})\to0\)（\(h\to\infty\)）；替代"随机抽样"使 LLN/CLT 成立 |
| OLS 一致 | TS.1′–3′（平稳弱相关 + 同期外生）⇒ \(\mathrm{plim}\,\hat\beta_j=\beta_j\)（定理 11.1） |
| 随机游走 / 单位根 | \(\rho_1=1\)，\(I(1)\)，方差随 \(t\) 增长、不平稳、不弱相关 |
| 一阶差分 | \(I(1)\) 差分后为 \(I(0)\)（弱相关），并消除线性趋势 |
平稳与弱相关¶
平稳性概念
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 平稳时间序列 | 序列中任意随机变量集，整体向前平移 \(h\) 期都不改变其联合概率分布 |
| 不平稳过程 | 联合分布随时期推移而变化 |
| 严平稳 | 对所有 \(t\)，\(x_t\) 与 \(x_{t+h}\) 同分布，且任意有限集的联合分布只依赖相对位置 |
| 协方差平稳 | 对二阶矩有限（\(E(x_t^2)<\infty\)）的过程：① \(E(x_t)\) 为常数；② \(\mathrm{Var}(x_t)\) 为常数；③ \(\mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h})\) 只取决于 \(h\)，不取决于 \(t\) |
严平稳（且二阶矩存在）⇒ 协方差平稳；反之不一定。实用中"平稳"多指协方差平稳（宽平稳）。
弱相关（渐近无关）
对平稳序列，若 \(h\to\infty\) 时 \(x_t\) 与 \(x_{t+h}\) "近乎独立"（协方差平稳序列即 \(\mathrm{Corr}(x_t,x_{t+h})\to0\)），则称弱相关。它在时间序列里取代随机抽样，使大数定律与中心极限定理得以成立。
| 例子 | 为何弱相关 |
|---|---|
| i.i.d. 序列 | 独立同分布，毫无疑问弱相关 |
| MA(1)：\(x_t=e_t+\alpha_1 e_{t-1}\) | 相邻项相关 \(\mathrm{Corr}(x_t,x_{t-1})=\dfrac{\alpha_1}{1+\alpha_1^2}\)，间隔 \(\ge2\) 期独立 → 平稳弱相关 |
| AR(1)：\(y_t=\rho_1 y_{t-1}+e_t\) | \(\mathrm{Corr}(y_t,y_{t+h})=\rho_1^{\,h}\)，弱相关的关键是稳定性 \(\lvert\rho_1\rvert<1\) |
OLS 的渐近性质¶
把第 10 章的假设弱化为"平稳弱相关 + 同期外生"：
假设 TS.1′–TS.5′
- TS.1′ 线性 + 平稳弱相关：在 TS.1 基础上要求 \(\{(\mathbf x_t,y_t)\}\) 平稳且弱相关；
- TS.2′ 无完全共线性；
- TS.3′ 同期外生：\(E(u_t\mid\mathbf x_t)=0\)（比严格外生弱）；
- TS.4′ 同期同方差：\(\mathrm{Var}(u_t\mid\mathbf x_t)=\sigma^2\)；
- TS.5′ 无序列相关：\(E(u_t u_s\mid\mathbf x_t,\mathbf x_s)=0\ (t\neq s)\)。
| 定理 | 内容 |
|---|---|
| 定理 11.1（一致性） | TS.1′–3′ ⇒ \(\mathrm{plim}\,\hat\beta_j=\beta_j\)。区别于定理 10.1：不一定无偏，但弱化了严格外生为同期外生，代价是要求序列弱相关 |
| 定理 11.2（渐近正态性） | TS.1′–5′ ⇒ OLS 渐近正态，通常的标准误、\(t\)、\(F\)、\(LM\) 都渐近有效 |
大样本下不再纠结无偏，一致 + 渐近正态已足够做推断。
高度持续性序列：随机游走与单位根¶
许多经济序列高度持续，最好用 \(\rho_1=1\) 的 AR(1)——即随机游走 \(y_t=y_{t-1}+e_t\) 来刻画：
| 要点 | 内容 |
|---|---|
| 定义 | \(y_t=y_{t-1}+e_t\)（\(e_t\) i.i.d.）；随机游走是单位根过程的特例 |
| 期望 | \(E(y_t)=E(y_0)\)，不取决于 \(t\) |
| 方差 | \(\mathrm{Var}(y_t)=\sigma_e^2\,t\)，随时间线性增长 → 不可能平稳 |
| 高度持续性 | 对 \(y_{t+h}\) 的最佳预测就是 \(y_t\)（无论多远）：\(E(y_{t+h}\mid y_t)=y_t\) |
| 非渐近无关 | \(\mathrm{Corr}(y_t,y_{t+h})=\sqrt{t/(t+h)}\)，依赖起点 \(t\)，不协方差平稳、不弱相关 |
带漂移的随机游走 \(y_t=\alpha_0+y_{t-1}+e_t\) 由 \(E(y_t)=\alpha_0 t+E(y_0)\) 知含线性趋势，同样是单位根过程（AR(1) 中 \(\rho_1=1\) 的特例）。
\(I(1)\)、\(I(0)\) 与一阶差分¶
单整阶数
- \(I(0)\)（零阶单整）：弱相关过程，均值已满足极限定理，回归中无需处理；
- \(I(1)\)（一阶单整 / 差分平稳）：其一阶差分才弱相关平稳。若 \(y_t=y_{t-1}+e_t\)，则 \(\Delta y_t=y_t-y_{t-1}=e_t\) 是 i.i.d.（弱相关）。
一阶差分的好处：
- 严格正序列取对数后的差分 \(\Delta\log(y_t)\approx(y_t-y_{t-1})/y_{t-1}\)，直接是百分比变化；
- 差分消除所有线性时间趋势。
如何判断 \(I(1)\)
稳定 AR(1) 时 \(\rho_1=\mathrm{Corr}(y_t,y_{t-1})\)，可用样本一阶自相关 \(\hat\rho_1\) 估计：\(\lvert\rho_1\rvert<1\) 为 \(I(0)\)，\(\lvert\rho_1\rvert=1\) 为 \(I(1)\)。\(\hat\rho_1\) 一致但有偏（更正式的检验是单位根检验，如 Dickey–Fuller，对应 Stata 的 dfuller）。
动态完备模型与序列外生性¶
动态完备
若 \(E(y_t\mid\mathbf x_t,y_{t-1},\mathbf x_{t-1},\dots)=E(y_t\mid\mathbf x_t)\)——即一旦给定当期解释变量，更早的滞后对解释 \(y_t\) 不再有意义，则模型动态完备。动态完备 ⇒ 误差无序列相关（满足 TS.5），故为预测目的应追求动态完备。含 \(y\) 的滞后作解释变量的模型通常动态完备。
外生性强弱的层级：
其中序列外生 \(E(u_t\mid\mathbf x_t,\mathbf x_{t-1},\dots)=0\)；又因 \((\mathbf x_t,\mathbf x_{t-1},\dots)\) 是 \((\mathbf x_t,y_{t-1},\mathbf x_{t-1},\dots)\) 的子集，故动态完备 ⇒ 序列外生。\(\mathbf x_t\) 含 \(y_{t-1}\) 时序列外生与动态完备等价。
时间序列的同方差假定¶
TS.4′ 在不同模型里的具体含义：
| 模型 | 同方差的含义 |
|---|---|
| 静态模型 | \(\mathrm{Var}(u_t\mid z_t)=\sigma^2\)：即使 \(E(u_t\mid z_t)\) 是 \(z_t\) 的线性函数，\(\mathrm{Var}(y_t\mid z_t)\) 也须为常数 |
| AR(1) \(y_t=\beta_0+\beta_1 y_{t-1}+u_t\) | \(\mathrm{Var}(u_t\mid y_{t-1})=\sigma^2\)：即使均值取决于 \(y_{t-1}\)，方差也不取决于 \(y_{t-1}\) |
| 含一期滞后的两变量模型 | \(\mathrm{Var}(u_t\mid z_t,y_{t-1},z_{t-1})=\sigma^2\)：\(u_t\) 方差不取决于这些条件变量 |
速查表¶
| 概念 | 要点 |
|---|---|
| 协方差平稳 | 均值、方差恒定，\(\mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h})\) 只依赖 \(h\) |
| 弱相关 | \(\mathrm{Corr}(x_t,x_{t+h})\to0\)；MA(1) 间隔≥2 独立，AR(1) 需 \(\lvert\rho_1\rvert<1\) |
| 一致（定理 11.1） | TS.1′–3′（同期外生 + 弱相关） |
| 随机游走 | \(\rho_1=1\)，\(\mathrm{Var}=\sigma_e^2 t\)，\(I(1)\)，不平稳不弱相关 |
| 差分 | \(I(1)\xrightarrow{\Delta}I(0)\)，并去线性趋势 |
| 外生层级 | 严格 ⇒ 序列 ⇒ 同期；动态完备 ⇒ 序列外生 ⇒ 无序列相关 |
易错点与考点提醒：
高频陷阱
- 协方差平稳 ≠ 严平稳：前者只管前两阶矩；弱相关讲的是"相关随间隔衰减"；
- AR(1) 弱相关的命门是 \(\lvert\rho_1\rvert<1\)；\(\rho_1=1\) 即随机游走 / 单位根，方差随 \(t\) 涨、不弱相关；
- \(I(1)\) 序列直接回归易伪回归，要先差分成 \(I(0)\)；
- 大样本下时间序列只求一致（同期外生 + 弱相关），不强求无偏。