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序列相关与异方差

序列相关（自相关）指误差跨期相关 \(\mathrm{Corr}(u_t,u_s)\neq0\)，违反 TS.5——这是时间序列回归最常见的毛病。它不破坏 OLS 的无偏 / 一致，但毁掉推断（标准误偏小、\(t\)/\(F\) 虚高）。本页讲它的后果、检验（\(t\) / DW / BG）、修正（FGLS：CO 与 PW），以及时间序列里的异方差与 ARCH。

核心结论速览

主题 要点
对 OLS 的影响 TS.1–3 ⇒ 仍无偏；同期外生 + 弱相关 ⇒ 仍一致；但标准误 / \(t\) / \(F\) / \(LM\) 失效（通常低估方差）
\(t\) 检验（严格外生） \(\hat u_t\) 对 \(\hat u_{t-1}\) 回归，检验 \(H_0:\rho=0\)
DW 检验 \(DW=\dfrac{\sum(\hat u_t-\hat u_{t-1})^2}{\sum\hat u_t^2}\approx2(1-\hat\rho)\)，查 \(d_L,d_U\)
BG 检验（\(AR(q)\)） \(LM=(n-q)R^2_{\hat u}\sim\chi^2_q\)
修正 FGLS（CO 去首观测 / PW 留首观测）；或一阶差分；或 OLS + 序列相关稳健标准误

序列相关误差下 OLS 的性质

无偏 / 一致仍在，推断失效

  • 无偏：只要 TS.1–3 成立（严格外生），序列相关不破坏无偏；
  • 一致：把严格外生放宽到同期外生 TS.3′，且数据弱相关时，\(\hat\beta_j\) 仍一致（不一定无偏）；
  • 失效的是推断：违反 TS.5 后，通常的 \(\mathrm{Var}(\hat\beta_j)\) 估计有偏，OLS 标准误、\(t\)、\(F\)、\(LM\) 都不可靠；
  • \(R^2\) 仍有效：只要序列平稳弱相关，拟合优度指标 \(R^2\)、\(\bar R^2\) 照常可用。

方差被低估的来源

设误差服从 AR(1)：\(u_t=\rho u_{t-1}+e_t\)，\(\lvert\rho\rvert<1\)。简单回归（\(\bar x=0\)）中

\[ \mathrm{Var}(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{\mathrm{SST}_x}+\frac{2\sigma^2}{\mathrm{SST}_x^2}\sum_{t=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-t}\rho^{\,j}x_t x_{t+j} \]

多出的第二项在经济数据里通常为正（\(\rho>0\) 且 \(x_t,x_{t+j}\) 多正相关），所以通常的 OLS 方差公式低估了真实方差 → 标准误偏小、\(t\) 虚高、易误判显著。

含滞后因变量时的序列相关

两种情形，结论不同

模型 \(y_t=\beta_0+\beta_1 y_{t-1}+u_t\)：

  • 仍一致：若 \(E(u_t\mid y_{t-1})=0\)（同期外生），则 OLS 一致，即便 \(\{u_t\}\) 间存在序列相关（\(\mathrm{Cov}(u_t,u_{t-1})\neq0\)）——序列相关只让推断不可靠，不毁一致性；
  • 不一致：若误差服从稳定 AR(1) \(u_t=\rho u_{t-1}+e_t\)，则 \(y_{t-1}\) 与 \(u_t\) 相关，OLS 不一致。此时真实 DGP 实为 AR(2)：\(y_t=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}+\alpha_2 y_{t-2}+e_t\)，其中 \(\alpha_1=\beta_1+\rho,\ \alpha_2=-\rho\beta_1\)——说明原模型遗漏了 \(y_{t-2}\)。

口诀：滞后因变量 + AR(1) 误差 ⇒ 不一致；这是该考点的核心。

检验序列相关

严格外生下 AR(1) 的 \(t\) 检验

步骤

  1. 做 \(y_t\) 对 \(x_{t1},\dots,x_{tk}\) 的 OLS，得残差 \(\hat u_t\)；
  2. 做 \(\hat u_t\) 对 \(\hat u_{t-1}\) 的回归（含或不含截距均可），得系数 \(\hat\rho\) 及其 \(t\) 统计量；
  3. 用 \(t\) 检验 \(H_0:\rho=0\) vs \(H_1:\rho\neq0\)。

\(\hat\rho\) 是 \(\mathrm{Corr}(u_t,u_{t-1})\) 的一致估计。注意大样本下即便 \(\hat\rho\) 很小也可能显著，但 \(\hat\rho\approx0\) 时通常 OLS 推断也基本可靠。

Durbin–Watson 检验

\[ DW=\frac{\sum_{t=2}^n(\hat u_t-\hat u_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n\hat u_t^2}\approx 2(1-\hat\rho) \]

故 \(DW\) 在 2 附近表示无（一阶）序列相关，趋近 0 表示正相关，趋近 4 表示负相关。对 \(H_1:\rho>0\)，与上界 \(d_U\)、下界 \(d_L\) 比较：

结果 结论
\(DW<d_L\) 拒绝 \(H_0\)（存在正序列相关）
\(DW>d_U\) 不拒绝 \(H_0\)
\(d_L\le DW\le d_U\) 无法判定（不确定区域）

DW 的局限

临界值仅在满足全部 CLM 假定时有效，且常有较宽的"无结论区域"；解释变量非严格外生（如含滞后因变量）时 DW 失效——此时用 Durbin \(h\) 或下面的一般检验。

高阶 \(AR(q)\)：Breusch–Godfrey（BG）检验

检验 \(u_t=\rho_1 u_{t-1}+\dots+\rho_q u_{t-q}+e_t\) 的 \(H_0:\rho_1=\dots=\rho_q=0\)：

BG 步骤

  1. OLS 得残差 \(\hat u_t\)；
  2. 把 \(\hat u_t\) 对全部自变量 \(x_{t1},\dots,x_{tk}\) 及 \(\hat u_{t-1},\dots,\hat u_{t-q}\) 回归；

  3. 对滞后残差项做联合显著性检验：

    \[ LM=(n-q)\,R^2_{\hat u}\ \sim\ \chi^2_q \]

在辅助回归里保留 \(x_{tj}\)，使检验对是否严格外生都有效（这是 BG 优于简单 \(t\) 检验之处）；需同方差假定，否则用异方差–稳健形式。

修正序列相关（严格外生时）：FGLS

若确诊 AR(1) 序列相关且解释变量严格外生，可用可行 GLS（FGLS）：先估 \(\hat\rho\)，再对数据做"准差分"变换 \(y_t-\hat\rho y_{t-1}\) 后 OLS。按是否保留第一次观测分两法：

方法 第一次观测
科克伦–奥卡特（CO，Cochrane–Orcutt） 省略第一次观测
普莱斯–温斯顿（PW，Prais–Winsten） 保留第一次观测（对其特殊加权）

FGLS 的性质

  • \(\hat\rho\) 的估计误差不影响 FGLS 的渐近分布，但使 \(t\)/\(F\) 只渐近服从 \(t\)/\(F\)；
  • FGLS 并非无偏，故不是 BLUE；
  • 但当 AR(1) 成立且解释变量严格外生时，FGLS 比 OLS 渐近更有效。

OLS 与 FGLS 的取舍

一致性要求不同

  • OLS 一致只需 \(\mathrm{Cov}(x_t,u_t)=0\)；
  • FGLS 一致还需 \(\mathrm{Cov}[(x_{t-1}+x_{t+1}),u_t]=0\)（更强）。

取舍：

  • 当 \(x\) 对 \(y\) 有滞后影响或 \(x_{t+1}\) 受 \(u_t\) 反作用时，OLS 一致而 FGLS 可能不一致 → 选 OLS；
  • 有序列相关证据且两者估计接近时，FGLS 更可取（更有效）；
  • 两者差别大且难判显著性时，可用豪斯曼（Hausman）检验。

差分与稳健推断

误差存在序列相关（无论是否随机游走）时，一阶差分往往能消除大部分序列相关，多解释变量时结论基本不变。另一条实用路线是 OLS + 序列相关稳健（Newey–West / HAC）标准误：不改估计、只修标准误，对未知形式的序列相关与异方差都稳健。

时间序列中的异方差与 ARCH

横截面的异方差检验（BP / White）可直接用于时间序列，但前提是误差无序列相关——否则序列相关会使异方差检验失效。BP 用辅助回归 \(\hat u_t^2=\delta_0+\delta_1 x_{t1}+\dots+\delta_k x_{tk}+v_t\) 检验 \(H_0:\delta_1=\dots=\delta_k=0\)，且要求误差自身同方差且无序列相关。

ARCH（自回归条件异方差）

ARCH 模型刻画金融时间序列的波动率聚集（volatility clustering）：高波动期扎堆、低波动期扎堆。它让条件方差依赖于过去误差的平方，从而捕捉波动的时变特征（股票收益、汇率等的典型现象）。

速查表

项目 结论 / 公式
无偏 / 一致 序列相关不破坏；只毁推断（方差通常被低估）
AR(1) \(t\) 检验 \(\hat u_t\) 对 \(\hat u_{t-1}\) 回归，检验 \(\rho=0\)
DW \(DW\approx2(1-\hat\rho)\)，查 \(d_L,d_U\)，有无结论区
BG（\(AR(q)\)） \(LM=(n-q)R^2_{\hat u}\sim\chi^2_q\)
FGLS CO 去首观测 / PW 留首观测；非 BLUE，但渐近更有效
滞后因变量 + AR(1) 误差 OLS 不一致

易错点与考点提醒：

高频陷阱

  • 序列相关不破坏无偏 / 一致，只让标准误失效（且常低估 → \(t\) 虚高）；判断题高频；
  • DW≈2 无相关、<2 正相关、>2 负相关；DW 对含滞后因变量的模型失效，改用 BG；
  • BG 的 \(LM=(n-q)R^2\)，自由度 \(q\)；辅助回归要带上原自变量；
  • 滞后因变量 + AR(1) 误差 ⇒ OLS 不一致（真模型变 AR(2)）；
  • FGLS 更有效但非无偏 / 非 BLUE，且一致性要求比 OLS 强，选用要看 \(x\) 是否严格外生。