模型设定与数据问题¶
前面假定模型设定正确、数据干净。本页面对现实：函数形式设错（漏二次项 / 该取对数没取）、关键变量无法观测（用代理变量）、变量测量有误差，以及数据缺失 / 非随机样本 / 异常值。核心是判断每种问题会不会破坏 OLS 的无偏与一致。
核心结论速览
| 问题 | 对 OLS 的后果 |
|---|---|
| 函数形式误设 | 违反 MLR.4 → 有偏；用 RESET 检验 |
| 代理变量（植入解） | 满足条件时得一致估计，化解遗漏变量 |
| 因变量测量误差 | 与自变量无关时仍无偏一致，只是方差变大 |
| 自变量测量误差（CEV） | 误差与观测自变量必相关 → 有偏且不一致（衰减偏误） |
| 数据缺失 / 样本选择 | 完全随机缺失、外生选择无害；内生（基于 \(y\)）选择有偏 |
函数形式误设¶
当模型没能正确刻画 \(y\) 与所观测解释变量的关系（如漏了二次项、该用对数却用了水平值），就是函数形式误设，它使 MLR.4 不成立、导致偏误。两种常用检验：
| 检验 | 基本思想 | 具体步骤 | 缺陷 |
|---|---|---|---|
| 联合排除约束 \(F\) 检验 | 把某显著解释变量的更高次幂加入模型，联合检验其显著性；若联合显著则原设定有问题 | 构造高次幂项 → 联合 \(F\) 检验 | 对结果的解释更复杂 |
| RESET 检验 | 若模型满足 MLR.4，则在方程中加入拟合值的非线性项应不显著 | ① OLS 估原模型得拟合值 \(\hat y\)；② 把 \(\hat y^2,\hat y^3\) 加入方程；③ 联合检验其显著性（\(F\)） | ① 拒绝后不指明改进方向；② 被漏项是已含变量的线性组合时查不出；③ 只查函数形式，不查异方差 |
代理变量：遗漏变量的"植入解"¶
当某个关键解释变量 \(x_3^*\) 无法观测时，找一个与它相关的可观测变量 \(x_3\) 作代理变量，直接用 \(x_3\) 替换 \(x_3^*\) 进回归，称遗漏变量问题的植入解：
植入解给出一致估计所需的条件
- 代理变量与被代理变量相关（\(\delta_3\neq 0\)，否则代理无意义）；
- 误差 \(u\) 与 \(x_1,x_2,x_3\) 都不相关（\(x_3^*\) 在控制 \(x_3\) 后与 \(u\) 无关）；
- 给定代理变量后，被代理变量的条件均值只依赖代理变量：\(E(x_3^*\mid x_1,x_2,x_3)=E(x_3^*\mid x_3)\)——即 \(x_1,x_2\) 不含关于 \(x_3^*\) 的额外信息。
满足时，用 \(x_3\) 替换后 \(\hat\beta_1,\hat\beta_2\) 一致（甚至无偏）。滞后因变量常被用作不可观测因素的代理，尤适合政策分析。
测量误差¶
代理变量与测量误差易混，先厘清区别：
| 区别 | 内容 |
|---|---|
| 概念不同 | 代理变量：找一个与无法观测变量相关的变量来替；测量误差：变量有明确定量含义，只是记录值含误差 |
| 研究侧重不同 | 测量误差侧重被误测的那个变量本身；代理变量侧重其他未被误测解释变量所受的影响 |
因变量的测量误差¶
设观测值 \(y=y^*+e_0\)（\(e_0=y-y^*\)）。代入真实模型得 \(y=\beta_0+\beta_1 x_1+\dots+\beta_k x_k+(u+e_0)\)。
结论：通常无害
若 \(e_0\) 与各解释变量统计独立，则 OLS 仍无偏、一致，\(t\)/\(F\)/\(LM\) 推断有效。代价仅是误差方差变大（\(\mathrm{Var}(u+e_0)>\sigma_u^2\)），系数方差更大、显著性下降。
自变量的测量误差（CEV）¶
设真实模型 \(y=\beta_0+\beta_1 x_1^*+u\)，但只观测到 \(x_1=x_1^*+e_1\)。
经典变量误差（CEV）假设
- 测量误差均值为零：\(E(e_1)=0\)；
- 测量误差与真实变量无关：\(\mathrm{Cov}(x_1^*,e_1)=0\)。
代入 \(x_1^*=x_1-e_1\)：\(y=\beta_0+\beta_1 x_1+(u-\beta_1 e_1)\)。
后果：有偏且不一致（衰减偏误）
CEV 下 \(e_1\) 与观测变量 \(x_1\) 必然相关（因为 \(x_1=x_1^*+e_1\)），于是 \(x_1\) 与合成误差 \(u-\beta_1 e_1\) 相关，违反 MLR.4 → OLS 有偏且不一致。其方向是把 \(\hat\beta_1\) 系统性地拉向 0，称衰减偏误（attenuation bias）。
对比记忆：因变量测量误差 → 多半无害（只增方差）；自变量测量误差 → 衰减偏误，麻烦得多。
数据缺失、非随机样本与异常值¶
- 数据缺失：若为完全随机缺失（MCAR），只是样本变小，不改变随机性、不引入偏误，OLS 仍无偏一致；
- 非随机样本：
- 外生样本选择（基于自变量取值选样）：不导致偏误，OLS 仍无偏一致；
- 内生样本选择（基于因变量取值选样）：导致偏误——这是样本选择问题的危险形态；
- 异常值：小数据集里个别极端观测可能大幅改变 OLS 估计（去掉它结果就"大变"）。需警惕并做稳健性检查，但"异常"的判定本身带主观性。
速查表¶
| 问题 | 是否破坏无偏 / 一致 | 处理 |
|---|---|---|
| 函数形式误设 | 是（违反 MLR.4） | RESET / 加高次项 |
| 代理变量植入解 | 否（满足条件时一致） | 用代理变量替换 |
| 因变量测量误差 | 否（独立时） | 接受方差变大 |
| 自变量测量误差（CEV） | 是（衰减偏误） | 工具变量等（本课略） |
| MCAR 缺失 / 外生选择 | 否 | 照常 OLS |
| 内生样本选择 | 是 | 样本选择校正（本课略） |
易错点与考点提醒：
高频陷阱
- 因变量 vs 自变量测量误差：前者通常无害、后者衰减偏误——必考对比；
- 外生选择（基于 \(x\)）无害、内生选择（基于 \(y\)）有偏——判断题高频；
- RESET 用拟合值的高次项做检验，且查不出"被漏项是已含变量线性组合"的情形、也不查异方差；
- 代理变量要满足"给定代理后被代理变量条件均值只依赖代理"这一条，才能化解遗漏变量。