异方差性¶

异方差指误差方差随解释变量变化（\(\mathrm{Var}(u\mid \mathbf x)\neq\sigma^2\)），违反 MLR.5。它不毁掉 OLS 的无偏与一致，但摧毁推断：标准误偏、\(t\)/\(F\) 失效。本页讲它的后果、稳健推断、检验（BP / White）与加权最小二乘（WLS）。

核心结论速览

问题	结论
对 OLS 的影响	无偏性、一致性、\(R^2\) 不受影响；但 \(\mathrm{Var}(\hat\beta_j)\) 有偏、标准误失效、\(t\)/\(F\)/\(LM\) 失效、不再 BLUE / 渐近有效
稳健推断	用异方差–稳健标准误，\(t\)/\(F\) 渐近有效（仅大样本可靠）
BP 检验	\(\hat u^2\) 对 \(\mathbf x\) 辅助回归，\(LM=nR^2\sim\chi^2_k\)
White 检验	辅助回归加平方与交叉项，或简化为 \(\hat u^2\) 对 \(\hat y,\hat y^2\)
WLS / FGLS	若正确设定方差形式，比 OLS 更有效，恢复精确 \(t\)/\(F\)

异方差对 OLS 的影响¶

哪些受影响、哪些不受影响

异方差只违反 MLR.5，故不影响只需 MLR.1–4 的性质：

✅ 不受影响：OLS 的无偏性、一致性；\(R^2\) 与 \(\bar R^2\)（它们针对的是无条件方差）。

而所有用到 MLR.5 的推断全部失效：

❌ \(\mathrm{Var}(\hat\beta_j)\) 的常用公式有偏；
❌ OLS 标准误不可靠 → 置信区间、\(t\) 统计量无效；
❌ \(t\) 不再服从 \(t\) 分布，\(F\) 不再服从 \(F\) 分布，\(LM\) 不再渐近 \(\chi^2\)；
❌ OLS 不再是 BLUE，也不再渐近有效。

一句话：点估计还能用，推断不能用。

异方差–稳健推断¶

不改估计、只换标准误，得到异方差–稳健标准误，据此构造稳健 \(t\)、稳健 \(F\)（含异方差–稳健的邹至庄 Chow 检验）、稳健 \(LM\)，在大样本下有效。

易错点：稳健标准误不"总是"更大

常见错误判断："异方差–稳健标准误总是比通常标准误大"——错。它通常更大，但不总是，存在反例（取决于异方差结构）。

既然稳健标准误更通用，为何还保留通常标准误？

若同方差成立且误差正态，通常 \(t\)/\(F\) 服从精确分布，任意样本量都有效（第 4 章）；
而稳健标准误只在大样本才可靠；小样本里稳健 \(t\) 的分布未必接近 \(t\) 分布，反而可能误导。

故大样本横截面研究里越来越倾向"只报告稳健标准误"，小样本则需谨慎。

检验异方差¶

BP 检验（Breusch–Pagan）¶

思想：在 MLR.1–4 下 \(\mathrm{Var}(u\mid\mathbf x)=E(u^2\mid\mathbf x)\)，同方差等价于 \(E(u^2\mid\mathbf x)\) 不依赖 \(\mathbf x\)。

BP 检验步骤

OLS 估原模型，得残差平方 \(\hat u^2\)；
辅助回归 \(\hat u^2=\delta_0+\delta_1 x_1+\dots+\delta_k x_k+v\)，记其 \(R^2_{\hat u^2}\)。原假设 \(H_0:\delta_1=\dots=\delta_k=0\)（同方差）；
构造统计量并查 \(p\) 值：

\[ F=\frac{R^2_{\hat u^2}/k}{(1-R^2_{\hat u^2})/(n-k-1)}\sim F_{k,\,n-k-1}, \qquad LM=n\,R^2_{\hat u^2}\sim\chi^2_k \]

\(p\) 值足够小则拒绝同方差，需采取补救（稳健标准误或 WLS）。

White 检验¶

更宽松地允许方差依赖自变量的平方项与交叉项：

\[ \hat u^2=\delta_0+\sum_{i}\delta_i x_i+\sum_i \delta_{i+k} x_i^2+\sum_{i<j}\gamma_{ij}x_i x_j+v \]

缺点是耗费大量自由度。常用简化版：用拟合值替代——把 \(\hat u^2\) 对 \(\hat y\)、\(\hat y^2\) 回归（\(\hat y\) 的平方已是各平方 / 交叉项的特殊组合），再做 \(F\) / \(LM\) 检验。

加权最小二乘（WLS）与 FGLS¶

若检验确认异方差，且能把方差写成已知形式 \(\mathrm{Var}(u\mid\mathbf x)=\sigma^2 h(\mathbf x)\)，则给每个观测加权 \(1/h_i\) 做 WLS——它是 GLS 的特例，比 OLS 更有效，并恢复具有精确 \(t\)/\(F\) 分布的统计量。

现实中 \(h(\mathbf x)\) 形式未知，需先用样本估出 \(\hat h(\mathbf x)\)（常设 \(h\) 为指数形式以保正），再用 \(\hat h_i\) 加权，称可行 GLS（FGLS）。FGLS 估计量有偏但一致，大样本下比 OLS 有效。

选稳健标准误还是 WLS？

只想要可靠推断、不想假设方差形式 → OLS + 稳健标准误（稳妥、常用）；
能较好地建模方差形式、追求效率 → WLS / FGLS（更有效但依赖正确设定，设错可能更糟）。

速查表¶

项目	结论 / 公式
不受影响	无偏、一致、\(R^2\)
受影响	方差公式、标准误、\(t\)/\(F\)/\(LM\)、BLUE、渐近有效
BP 检验	\(\hat u^2\) 对 \(\mathbf x\) 回归，\(LM=nR^2\sim\chi^2_k\)
White 检验	加平方/交叉项，或 \(\hat u^2\) 对 \(\hat y,\hat y^2\)
LPM 方差	\(\mathrm{Var}(u\mid x)=p(1-p)\)（天然异方差）

易错点与考点提醒：

高频陷阱

异方差不破坏无偏 / 一致 / \(R^2\)，只破坏推断——这是判断题高频考点；
稳健标准误不一定更大；它只在大样本可靠；
BP 用线性辅助回归、White 加平方交叉项；两者统计量都是 \(LM=nR^2\)，自由度看辅助回归里自变量个数；
WLS 要正确设定方差形式才优于 OLS，否则可能适得其反。