时间序列数据回归¶

时间序列数据按时间排序，且我们只能观测到随机过程的一次实现（时间不能倒流重来）。这给回归带来横截面没有的新问题：误差可能跨期相关、变量可能有趋势 / 季节性。本页把高斯–马尔可夫框架改写为时间序列版（TS.1–TS.6），并处理趋势与季节性。

核心结论速览

主题	要点
静态 / FDL 模型	FDL：\(y_t=\alpha_0+\delta_0 z_t+\dots+\delta_q z_{t-q}+u_t\)；冲击倾向 \(\delta_0\)，长期倾向 \(\mathrm{LRP}=\sum_j\delta_j\)
严格外生 TS.3	\(E(u_t\mid\mathbf X)=0\)（\(u_t\) 与所有期解释变量无关）⇒ 无偏（定理 10.1）
无序列相关 TS.5	\(\mathrm{Corr}(u_t,u_s\mid\mathbf X)=0\)；违背即序列相关
CLM（TS.1–6）	加正态性 ⇒ 横截面的全部 \(t\)/\(F\) 推断照搬
趋势 / 季节	不去趋势会伪回归；回归含时间趋势 \(t\)、季节用季节虚拟变量

时间序列数据的性质¶

一个标有时间下标的随机变量序列称为随机过程（时间序列过程）。横截面把数据视为随机的依据是"从总体随机抽样"；时间序列则因为结果事先无法预料（明天的股指、明年的增长率）而天然是随机变量。我们拿到的一组数据，只是该过程的一次实现——这是时间序列分析的根本约束。

\[ y_t=\alpha_0+\delta_0 z_t+\delta_1 z_{t-1}+\dots+\delta_q z_{t-q}+u_t \]

冲击倾向与长期倾向

冲击倾向 / 即期倾向：\(\delta_0\)，\(z\) 当期提高 1 单位引起的 \(y\) 即期变化；
长期倾向（LRP）：\(z\) 永久提高 1 单位引起的 \(y\) 长期总变化

\[ \mathrm{LRP}=\delta_0+\delta_1+\dots+\delta_q \]

实务更关心 LRP：一来 \(z\) 各期滞后常高度相关（多重共线性），单个 \(\delta_j\) 估不准；二来政策评估关心累积效应而非某一期。

横截面的"随机抽样"在时间序列里不成立，需用严格外生性替代。

时间序列假设 TS.1–TS.6

TS.1 参数线性：\(y_t=\beta_0+\beta_1 x_{t1}+\dots+\beta_k x_{tk}+u_t\)；
TS.2 无完全共线性：无自变量恒定或是其他自变量的完全线性组合；
TS.3 零条件均值（严格外生）：\(E(u_t\mid\mathbf X)=0\)——\(u_t\) 与所有时期的解释变量都无关。（弱版同期外生 \(E(u_t\mid\mathbf x_t)=0\) 只够一致性，不够无偏。）
TS.4 同方差：\(\mathrm{Var}(u_t\mid\mathbf X)=\sigma^2\)；
TS.5 无序列相关：\(\mathrm{Corr}(u_t,u_s\mid\mathbf X)=0\ (t\neq s)\)；违背即序列相关 / 自相关；
TS.6 正态性：\(u_t\) 独立于 \(\mathbf X\) 且 i.i.d. \(\mathrm{Normal}(0,\sigma^2)\)（蕴含 TS.3–5 且更强）。

对应定理

定理 10.1：TS.1–3 ⇒ OLS 无偏（用严格外生替代随机抽样）；
定理 10.2：TS.1–5 ⇒ \(\mathrm{Var}(\hat\beta_j\mid\mathbf X)=\dfrac{\sigma^2}{\mathrm{SST}_j(1-R_j^2)}\)；
定理 10.3：TS.1–5 ⇒ \(\hat\sigma^2=\mathrm{SSR}/(n-k-1)\) 无偏；
定理 10.4：TS.1–5 ⇒ OLS 是 BLUE；
定理 10.5：TS.1–6（CLM）⇒ OLS 正态、\(t\)/\(F\) 精确——横截面的全部推断结论直接搬过来。

易错点：为什么时间序列要"严格外生"

横截面靠随机抽样自动保证 \(u_i\) 与其他观测的 \(x_j\) 无关；时间序列不能视为随机抽样，必须显式假定 \(u_t\) 与所有期的 \(x\) 无关（严格外生）才能证无偏。这条假设很强——含滞后因变量的模型通常就不满足它。

对数同样常用：log-log 给出短期弹性（即期倾向）与长期弹性（长期倾向）。某期出现系统性差异时可用虚拟变量。

趋势类型	形式与含义
线性趋势	\(y_t=\alpha_0+\alpha_1 t+e_t\)：\(\alpha_1\) 是每期变化量，\(E(y_t)=\alpha_0+\alpha_1 t\)；\(\alpha_1>0\) 上升、\(<0\) 下降；\(\mathrm{Var}(y_t)=\sigma_e^2\) 不随时间变
指数趋势	各期增长率大致恒定时具有指数趋势；可对序列取对数后建线性趋势 \(\log(y_t)=\alpha_0+\alpha_1 t\)
二次时间趋势	\(y_t=\alpha_0+\alpha_1 t+\alpha_2 t^2+e_t\)：\(\alpha_1,\alpha_2\) 同号则斜率递增，\(\alpha_1>0,\alpha_2<0\) 呈驼峰

伪回归

若某个不可观测的趋势同时推高 \(y_t\) 与 \(x_{tj}\)，回归会得到二者"显著相关"的假象——伪回归。补救是在模型里加入时间趋势变量 \(t\)（去趋势）。

去趋势后估计原系数等价于 FWL 三步：① 把 \(y_t\)、\(x_{tj}\) 各自对常数与 \(t\) 回归取残差；② 用 \(y\) 的残差对 \(x\) 的残差回归（无截距），所得系数即"剔除时间趋势后"的估计。

易错点：含趋势时 \(R^2\) 虚高

因变量含趋势时，时间序列回归的 \(R^2\) 常被人为抬高。报告拟合优度应在已去趋势的回归上算普通 \(R^2\)；但做 \(F\) 检验的 \(R^2\) 形式仍用未去趋势的 \(R^2\)（那只是计算手段，公式照旧成立）。

月度 / 季度 / 周度数据常有季节性。处理办法：回归中同时加入时间趋势与季节虚拟变量（如月度数据放 11 个月份虚拟变量，留一个月作基准）。

假设对照：TS.3 严格外生 ⊋ 同期外生；TS.6 ⇒ TS.3+TS.4+TS.5。

易错点与考点提醒：

高频陷阱