多元回归分析：推断¶
估计只给出点估计，推断回答"这个系数在统计上显著吗""能否拒绝某组约束"。本页在 MLR.1–5 之上加一条正态性假设，得到 \(\hat\beta_j\) 的精确抽样分布，从而建立单参数的 \(t\) 检验、置信区间，以及多约束的 \(F\) 检验。
核心结论速览
| 检验 | 统计量 | 分布 |
|---|---|---|
| 单参数 \(H_0:\beta_j=0\) | \(t=\dfrac{\hat\beta_j}{\mathrm{se}(\hat\beta_j)}\) | \(t_{\,n-k-1}\) |
| 置信区间 | \(\hat\beta_j\pm c\cdot\mathrm{se}(\hat\beta_j)\) | \(c\) 取 \(t_{\,n-k-1}\) 临界值 |
| 多约束（\(q\) 个排除约束） | \(F=\dfrac{(\mathrm{SSR}_r-\mathrm{SSR}_{ur})/q}{\mathrm{SSR}_{ur}/(n-k-1)}\) | \(F_{\,q,\,n-k-1}\) |
| 整体显著性 | \(F=\dfrac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}\) | \(F_{\,k,\,n-k-1}\) |
正态性（MLR.6）保证以上是精确分布；大样本下即使非正态，仍渐近成立（见渐近性质）。
OLS 估计量的抽样分布¶
为得到可处理的抽样分布，加一条最强的假设：
假设 MLR.6（正态性）与 CLM
总体误差 \(u\) 独立于解释变量，且服从 \(u\sim\mathrm{Normal}(0,\sigma^2)\)。它比之前任何假设都强——同时蕴含了零条件均值（MLR.4）与同方差（MLR.5）。
MLR.1–MLR.6 合称经典线性模型假设（CLM）。在 CLM 下，OLS 是所有（不限于线性）无偏估计量中方差最小的——比 BLUE 更强。
定理 4.1（正态抽样分布）
在 CLM 假设下，
标准化时用估计的 \(\hat\sigma\)（而非未知 \(\sigma\)），自由度损失使正态变为 \(t\) 分布（\(df=n-k-1\)）。
单个参数的 \(t\) 检验¶
检验 \(H_0:\beta_j=0\)（"控制其他变量后 \(x_j\) 对 \(y\) 无偏效应"）用 \(t\) 统计量：
- 与临界值 \(c\)（由显著性水平和 \(df\) 查 \(t\) 分布）比较：\(|t|>c\) 则在该水平上拒绝 \(H_0\)，称 \(x_j\) 统计显著；
- 一般原假设 \(H_0:\beta_j=a_j\) 时，\(t=(\hat\beta_j-a_j)/\mathrm{se}(\hat\beta_j)\)；
- \(p\) 值：能拒绝 \(H_0\) 的最小显著性水平，\(p\) 越小证据越强。
大样本下 \(t\to\) 正态
\(t\) 分布自由度越大越接近标准正态。实务中 \(df>120\) 即可直接用正态临界值（如双侧 5% 用 1.96）。
置信区间¶
\(\beta_j\) 的 \((1-\alpha)\) 置信区间：
区间不含 \(0\) \(\iff\) 在水平 \(\alpha\) 上拒绝 \(H_0:\beta_j=0\)——置信区间与双侧 \(t\) 检验是一体两面。
检验参数的线性组合¶
形如 \(H_0:\beta_1=\beta_2\)（即 \(\beta_1-\beta_2=0\)）的假设，构造
关键是别忘了协方差项。实务上常重参数化（令 \(\theta=\beta_1-\beta_2\)）让软件直接输出其标准误。
多个线性约束的 \(F\) 检验¶
要同时检验多个约束（如 \(H_0:\beta_{k-q+1}=\dots=\beta_k=0\)，共 \(q\) 个排除性约束），用 \(F\) 检验，思路是比较受约束模型（restricted, 去掉那 \(q\) 个变量）与不受约束模型（unrestricted）的残差平方和：
去掉变量必然使 \(\mathrm{SSR}\) 不减（\(\mathrm{SSR}_r\ge\mathrm{SSR}_{ur}\)）；若增加得"够多"，则这些变量联合显著，拒绝 \(H_0\)。用 \(\mathrm{SSR}=\mathrm{SST}(1-R^2)\) 可改写为 \(R^2\) 形式（要求两模型因变量、样本相同）：
易错点：单个 \(t\) 都不显著，联合 \(F\) 却显著？
这通常是多重共线性作祟：高度相关的变量难以单独分离各自的偏效应，故各自 \(t\) 不显著；但它们作为一组对 \(y\) 有解释力，\(F\) 检验照样拒绝。\(F\) 不是各 \(t\) 的简单叠加，不能用单个 \(t\) 推断联合显著性。
回归的整体显著性¶
特例：检验"除截距外所有系数都为零"（\(q=k\)，受约束模型只剩截距，\(R^2_r=0\)）：
这就是回归输出里那个"整体 \(F\) 统计量"。
速查表¶
| 目的 | 统计量 | 分布 / 判据 |
|---|---|---|
| 单系数显著性 | \(t=\hat\beta_j/\mathrm{se}(\hat\beta_j)\) | \(t_{n-k-1}\)，$ |
| 系数等于 \(a_j\) | \(t=(\hat\beta_j-a_j)/\mathrm{se}\) | 同上 |
| 两系数相等 | \(t=(\hat\beta_1-\hat\beta_2)/\mathrm{se}(\cdot)\) | 含协方差项 |
| \(q\) 个约束 | \(F=\dfrac{(\mathrm{SSR}_r-\mathrm{SSR}_{ur})/q}{\mathrm{SSR}_{ur}/(n-k-1)}\) | \(F_{q,n-k-1}\) |
| 整体显著 | \(F=\dfrac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}\) | \(F_{k,n-k-1}\) |
易错点与考点提醒：
高频陷阱
- 自由度 \(n-k-1\) 处处出现，别数错参数个数（含截距是 \(k+1\) 个）；
- \(F\) 的 \(R^2\) 形式要求两模型样本与因变量一致；因变量取了对数就不能和水平模型比 \(R^2\)；
- "统计显著" ≠ "经济上重要"：大样本里极小的系数也可能显著，要结合系数大小（经济意义）判断；
- 检验线性组合务必带上 \(\mathrm{Cov}(\hat\beta_1,\hat\beta_2)\) 项；
- 精确 \(t\)/\(F\) 依赖正态性 MLR.6，但大样本下可去掉它（渐近性质）。