含定性信息的回归¶

性别、行业、地区、是否参加某项目……这些定性信息用 0–1 虚拟变量编码后即可进回归。本页讲虚拟变量的设置与交互、以及当因变量本身是 0–1时的线性概率模型（LPM）及其问题。

核心结论速览

主题	要点
单个虚拟变量	系数 = 相对基准组的截距差异（其他条件不变）
多类别	\(m\) 个类别设 \(m-1\) 个虚拟变量 + 截距，留一个作基准；否则虚拟变量陷阱（完全共线）
虚拟交互	虚拟变量与连续变量交互 = 允许斜率因组而异
LPM	\(E(y\mid x)=P(y=1\mid x)\)，\(\Delta P(y=1\mid x)=\beta_j\Delta x_j\)
LPM 缺陷	预测概率可能越界 \([0,1]\)、天然异方差（\(\mathrm{Var}=p(1-p)\)）；但系数仍无偏一致

虚拟变量¶

虚拟变量（dummy / 0–1 变量）取 1 表示"属于某类"、0 表示"不属于"。

单个虚拟变量：模型 \(y=\beta_0+\delta_0 d+\beta_1 x+u\) 中，\(\delta_0\) 是 \(d=1\) 组相对 \(d=0\) 组（基准组）的截距差——在其他条件相同下两组 \(y\) 的平均差异。
多类别：\(m\) 个互斥类别只设 \(m-1\) 个虚拟变量（外加截距），省略的那个作基准组，各系数解读为"相对基准组"。

易错点：虚拟变量陷阱

若为 \(m\) 个类别同时放入 \(m\) 个虚拟变量又保留截距，它们之和恒为 1，与截距完全共线（违反 MLR.3），回归无法估计。务必留一个基准组。

虚拟变量的交互：
- 两个虚拟变量交互（如"女性 × 已婚"）→ 刻画组合类别的额外差异；
- 虚拟变量 × 连续变量（如"女性 × 教育"）→ 允许斜率因组而异，即不同组的回报率不同。检验斜率是否相同就是检验该交互项系数是否为零。

当因变量 \(y\) 为 0–1 时，直接对其做 OLS：

\[ y=\beta_0+\beta_1 x_1+\dots+\beta_k x_k+u \]

因为 \(E(y\mid \mathbf x)=P(y=1\mid \mathbf x)\)，这就是线性概率模型——拟合的是"成功概率"。系数解读为概率的偏效应：

\[ \Delta P(y=1\mid \mathbf x)=\beta_j\,\Delta x_j \]

即"其他不变时 \(x_j\) 增 1 单位，成功概率变化 \(\beta_j\)"。

LPM 的四个问题

预测概率可能越界：拟合值不受 \([0,1]\) 约束，可能 \(<0\) 或 \(>1\)；
概率未必线性：真实的概率–自变量关系可能非线性（边际效应递减），LPM 强加线性；
误差非正态：\(u\) 只取两个值，不服从正态——但大样本下 OLS 渐近正态，影响不大；
天然异方差：可证 \(\mathrm{Var}(u\mid \mathbf x)=p(\mathbf x)\,[1-p(\mathbf x)]\)，依赖 \(\mathbf x\)。故 OLS 不再是最小方差、通常标准误失效——但系数仍无偏、一致。

实务上 LPM 系数好解释、常作基准；要更严格则用 Logit/Probit（本课不展开）。对异方差用稳健标准误即可。

虚拟变量天然适合项目评价：设"是否参加项目"为虚拟变量 \(d\)，其系数即在控制其他因素后项目的平均效应。但要警惕：

易错点与考点提醒：

高频陷阱